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不定方程式

所謂「不定方程式」是指 : 形如「ax + by = c , 其中 a , b , c

為整數 , 且 a 與 b 不同時為 0」。

設 a 與 b 的最大公因數為 d , 即 ( a , b ) = d  , 則

「不定方程式有整數解」的充要條件是「d 整除 c」

換句話說 : 「ax + by = c有整數解」的充要條件是「d∣c」

 

" 註明 " : 「不定方程式」的解法 :

(1) 第一步 ( 判斷 ) : 先判斷ax + by = c 是否有整數解 ?

(2) 第一步 ( 約分 ) : 先將 ax + by = c 除以 d 化成 Ax + By = C

(3) 第三步 ( 找特殊解 ) : 採用「尤拉解法( Euler method )」

     求得 Ax + By = C 的 一組整數解 ( r , s )

(2) 第四步 ( 寫出一般解 ) : 「一般解」或是叫做「通解」

     ( x , y ) = ( Bu + r , -Au + s ) , 其中 u 為任意整數

 

Ex1. 下列二元一次不定方程式中 , 何者沒有整數解 ?

     (A) 12x + 9y = 5 (B) 14x + 6y = 8  (C) 15x + 20y = 45  (D) 

     660x + 23y = 122

 Ans : (A)

 

Ex2. 試寫出二元一次不定方程式 7x + 13y = 281的一通解。

Ans : ( x , y ) = ( 13u + 29 , -7u + 6 ) , 其中 u 為任意整數

 

Ex3. 在二元一次不定方程式660x + 23y = 122 的所有整數

      解 ( r , s ) 中 , r為最小正整數 , 此時 s = (A) 426 (B)

      526  (C) 626 (D) 656


cite:http://tw.myblog.yahoo.com/jw!oqdI9ImfGRCf52tB2q0ALQ--/article?mid=69

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